تبلیغات
ریاضی-معما و سرگرمی - درگیر یک سوالم
یک مسئله که ذهنم درگیرش شده
سلامی دوباره
توی یکی از گروه های ریاضی سوالی مطرح شده و دارم روی جوابش کار میکنم. شما هم اگر بخواهید میتونید روی ارائه جواب کار کنید.
سوال:
آیا 1000 عدد طبیعی متوالی می توانید ارایه دهید که در بین آن ها فقط 5 عدد اول باشد ؟
فعلا موفق به یافتن جواب نشده ام ولی اگر جواب رو یافتم همینجا قرار میدم. شما هم بفرمایید
با توجه به اینکه چینش اعداد اول دارای الگوی خاصی نیست مسئله کمی چالش برانگیز میشه.البته مسئله هر چی سخت تر باشه حل کردنش لذت بخش تره؟
میتونید از کامپیوتر برای انجام محاسبات استفاده کنید

جواب در ادامه مطلب
با کمک دوستان خوبم مسئله حل شد.
طراح مسئله هم راه حل کلی این مسئله رو نوشتند که من تصاوی اثباتشون رو اینجا میذارم.
توی کامنتهایی که دوستان فرستاده اند هم روند رسیدن ما به پاسخ مشخصه

تصویر اول
تصویر دوم


با تشکر از همه شما که مشارکت کردید





طبقه بندی: ریاضیات،

نوشته شده در تاریخ سه شنبه 6 خرداد 1393 توسط محسن

سه شنبه 20 خرداد 1393 06:25 بعد از ظهر
اعداد5000تا6000
دوشنبه 12 خرداد 1393 07:36 بعد از ظهر
پست بذارید بازم : )
محسن

به چشم.
یکشنبه 11 خرداد 1393 03:34 بعد از ظهر
واقعا یکی از تنها سایتهایی هستید که دارید تو این زمنیه کار میکنید خیلی خوبه مرسی
پنجشنبه 8 خرداد 1393 04:10 بعد از ظهر
در حد سوال 3 یا 2 نظریه ی مرحله دو ( المپیاد ) می شد انصافا!!!
محسن

بله
خیلی فسفر سوزیش بالا بود
واسه بعدها یادم باشه پا تو کفش بزرگترها نکنم
پنجشنبه 8 خرداد 1393 04:08 بعد از ظهر
ایدتون خیلی قشنگ بود.

بسیار زیبا حل شد.
محسن

لطف دارید
همفکری همه بود.مخصوصا شما
پنجشنبه 8 خرداد 1393 02:59 بعد از ظهر
سوالی كه هنوز برای من حل نشده مونده اینه كه چطور میشه اولین بازه با چنین خصوصیتی رو پیدا كرد؟
حالا واقعا جواب رو از اول نمیدونستی یا میخواستی ما رو امتحان كنی؟
محسن

پیرو حرفهای شما تعداد اعداد اول به مرور کم میشه و بازه های بزرگتری باید طی کرد تا بهشون رسید.
اصل ریاضی میگه در فاصله n!+1 ,n!+n هیچ عدد اولی نیست.
منم طول بازه رو هزار در نظر گرفتم چون مسئله خواسته بود.
حالا بعد از ۱۰۰۱ اولین عدد اول ۱۰۰۹است و همینطور میریم تا ۱۰۳۱ که پنجمین اول بعد از بازه بود.حالا بازه رو ۳۱ واحد به جلو شیفت کردیم.
جواب رو هم نمیدونستم و بعد که به طراح سوال مدیر خانه ریاضیات بوشهر آقای سعید حق جو گفتم ایشون تایید کرد و راه حل کلی رو نوشتند. البته توی ویکیپدیا هم جیزهایی شبیه اون اثبات دیده بودم
ممنون از شما بابت مشارکتتون و دادن ایده به من
پنجشنبه 8 خرداد 1393 10:03 قبل از ظهر
بزرگی اش مهم نیست فقط می خوایم اون اعداد رو معرفی کنیم :)

اصلا مهم نیست چی هستش و چه قدر بزرگه. فقط کافیه است اونارو بتونی معرفی کنی و حدس مون رو ثابت کنیم.

به عنوان مثال می گم بازه میشه 10^10!+658 تا 10^10!+1658 و بعد ادعامو ثابت می کنم.
محسن

آقا من بلاخره تونستم این مسئله رو کمک های شما دوستان حل کنم.
طراح سوال هم تایید کردند و فرمول کلی پیدا کردن اون اعداد رو ارایه کردند.
خلاصه اش اینه در بازه ی هزار فاکتوریل+1 تا هزارفاکتوریل+1001 هزار عدد طبیعی و مرکب داریم و هیچ اولی بینشون نیست.
حالا این بازه رو به جلو شیفت میکنیم تا اونجایی که 5 تا عدد اول داخلش داشته باشیم .
مثلا اعداد بعد از هزار فاکتوریل +1001 که اول هستند
1000!+1009 و 1000!+1013و1000!+1019و1000!+1021و1000!+ 1031 اول هستند
حالا بازه هزار تایی رو میبریم جلو تا برسیم به
از بازه 1000!+32 تا 1000!+1031
به همین شکل میشه جوابهای زیادی رو پیدا کرد
چهارشنبه 7 خرداد 1393 09:16 بعد از ظهر
عرض سلامی مجدد،
به نظر بنده چون اعداد اول از هیچ فرمول و الگوی خاصی پیروی نکرده و بعبارتی سرکش و نافرمان هستند جواب این مسئله از هیچ طریق محاسباتی بدست نمیاد و فقط باید توسط Trial and error بجواب رسید و برای اینکار باید از یک دیتا بیس با حدود 50 میلیون عدد اول (که این دیتا بیس موجود هست) و یک الگوریتم سبک که حافظه کمی را اشغال کنه استفاده کرد.
با تشکر
محسن

اگر به این دیتابیس دسترسی دارید پس حتما میتونید الگوریتمش رو بنویسید.هر ایندکس دیتابیس رو با ایندکس پنج تا جلوتر از اون چک میکنیم ببینیم اختلاف هزار است یا نه؟ درست گفتم؟
راستی ایمیل خودتون رو چک کنید
چهارشنبه 7 خرداد 1393 09:08 بعد از ظهر
خدمت جناب گانگسترمون خواستم این نكته رو یاد آور بشم بازه ای كه پیدا فرمودید یعنی اعداد زیر !1001 یه بازه به طور وحشتناك بزرگ هست خیلی بزرگتر از بازه ای كه من توش دنبال جواب هستم. خدمت دوست عزیزمون باید عرض كنم كه
1001 فاكتوریل میشه چیزی در حدود 10 به توان 2570. خیلی بزرگه ها!
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:57 بعد از ظهر
البته روشی كه من گفتم حتما اینطور نیست. یعنی ممكنه تو اعداد خیلی كوچكتر هم همچین حالتی پیش بیاد و جوابمون در اون حد بزرگ نباشه. ولی در اعداد نزدیك 10 به توان 87 شاید بشه چندین هزار تا از این بازه ها پیدا كرد.
بیاید مسئله رو كمی ساده تر كنیم. اولین ده تایی كه فقط یه عدد اول توشون هست.
طبق فرمولی كه من گفتم این بازه باید در حدود 10 هزار باشه. با یه نگاه میبینیم كتملا درسته و در حوالی عدد 10 هزار اعداد اول تقریبا هر 10 تا ظاهر میشن. ولی اولین بازه با این خصوصیت از 198 تا 207 است. كه خیلی از 10 هزار كمتر هست. پس شاید بشه یه بازه 1000تایی هم پیدا كرد كه فقط 5 تا عدد اول داشته باشه و از 10 به توان 87 كمتر بشه.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:40 بعد از ظهر
به سادگی میشه الگوریتمی برای پیدا كردن جواب ساخت. البته معلوم نیست این الگوریتم بعد از چند سال به نتیجه برسه. ولی فكر میكنم اگه از اعداد حدود 10 به توان 87 شروع به گشتن كنیم زودتر به نتیجه خواهیم رسید. شاید هم بهتر باشه به جای پیدا كردن جواب مسئله دنبال یه اثبات وجودی برای سوال باشیم.
محسن

صد در صد میشه الگوریتم نوشت ولی احتیاج به ابرکامپیوترهایی داره که اعداد به اون بزرگی رو بتونند بشناسند
Long variables can range from -2,147,483,648 to 2,147,483,647.
یک روش راحت تر هم داره
اونم اینه من گلوی اون دوستمون توی گروه ریاضی رو گرفته و اونقدر فشار بدم تا به حرف بیاد و اعتراف کنه جواب چیه و همه ما رو راحت کنه
خوب بیییید؟
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:21 بعد از ظهر
بازه رو فکر کنم مشخص کردیم که!

شما باید x رو بین 1 تا 1001!+2 سرچ کنین.

اون x که ما می خواییم عددی طبیعی است که در بین تمام اعداد x,x+1,x+2,...,x+999

دقیقا 5 عدد اول وجود داشته باشه.

ما این بازه رو فقط با یک استدلال ساده ی ریاضی و بدون هیچ محاسبه ی کامپیوتری پیدا کردیم. سعی کنید تا جای ممکن چنین کاری بکنین.

اگه مطمئنین نمی تونیم الگوریتمی بدیم که این بازه رو تو اردر کوتاهی چک کنه پس بهتره بازم استدلال رو جلو تر ببریم.
محسن

صد در صد باید استدلالی کار کنیم چون محاسباتی جواب نخواهد داد.
وقت کردید خودتون روی سرنخی که دوستتون داده کمی وقت بذارید.تا موقع منم یک استراحتی به مغز و شکمم بدم که از تاب و توان افتاده اند
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:19 بعد از ظهر
بازه رو فکر کنم مشخص کردیم که!

شما باید x رو بین 1 تا 1001!+2 سرچ کنین.

اون x که ما می خواییم عددی طبیعی است که در بین تمام اعداد x,x+1,x+2,...,x+999

دقیقا 5 عدد اول وجود داشته باشه.

ما این بازه رو فقط با یک استدلال ساده ی ریاضی و بدون هیچ محاسبه ی کامپیوتری پیدا کردیم. سعی کنید تا جای ممکن چنین کاری بکنین.

اگه مطمئنین نمی تونیم الگوریتمی بدیم که این بازه رو تو اردر کوتاهی چک کنه پس بهتره بازم استدلال رو جلو تر ببریم.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:14 بعد از ظهر
سلام بر ریاضیدانان جوان
ما همین گوشه کنارها منتظر مینشینیم تا شما عزیزان به جواب برسید
جواب های جالب دوستان رو هم دارم مطالعه می کنم
محسن

چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:10 بعد از ظهر
جایی كه ما باید دنبال بازه دلخواهمون باشیم باید عددی باشه كه Ln اون 200 بشه. یعنی چیزی حدود 10 به توان 87.
محسن

خیلی بزرگه نه؟
پس اثباتهای عددی و مهندسی ما رو به جایی نمیرسونه باید اثبات ریاضی و استدلالی کرد؟
چهارشنبه 7 خرداد 1393 08:07 بعد از ظهر
پس نتیجه میشه گرفت بازه ای كه ما دنبالش هستیم در جاهای اعلای اعداد طبیعی هست. یعنی اعداد خیلی بزرگی هستند. در تائید محاسبات جناب سید كه در بازه 15 میلیون سرچ فرمودند میشه دید كه Ln این عدد چیزی حدود 16.5 هست. كه با تقسیم هزار بر این عدد فرمایش جناب سید تائید میشه یعنی در بازه هزار تایی حدود 60 تا عدد اول وجو داره. جایی كه ما باید دنبال بازه دلخواهمون بگردیم
محسن

جواب رو باید بصورت همون فاکتوریل بپذیریم ظاهراً
چهارشنبه 7 خرداد 1393 07:49 بعد از ظهر
الان چند ساعتی هست كه این مسئله ذهنم رو درگیر كرده...صدای مریضها در اومده كه چرا نسخه ها دیر میشه. كم مونده بود داروی یه نفر رو هم اشتباهی بدم.
یه تحقیقی در این مورد انجام دادم كه با شما هم در میون میگذارم. در اعداد بسیار بزرگ نسبت یك عدد به تعداد كل اعداد اول كوچكتر از اون برابر است با Ln اون عدد. البته این فرمول برای اعدادی كه زیاد بزرگ هم نیستند مقدار قابل قبولی ارائه میده. مثلا اعداد اول زیر هزار 168 تا هستند یعنی تقریبا هر 6تا عدد یكی و Ln 1000 میشه حدود 7. در اعدد بزرگ این تقریب خیلی دقیقتر میشه. جایی كه ما دنبالش هستیم باید تقریبا هر از هر 200 تا عدد یكیش اول باشه. یعنی عددی كه Ln اون برابر 200 باشه
محسن

آقا به کار شریف طبابتت برس مریضها واجب تر از مسئله ما هستند
مسئله رو میشه در یک فرصت دیگه بیشتر بهش پرداخت.
قضیه ای که گفتید رو هم دیدم.ولی بگمونم باید همون بازه هزار فاکتوریلی که بینشون هیچ عدد اولی نیست رو کمی جابجا کنیم تا برخی اعداد اول در اون جا بگیرند
چهارشنبه 7 خرداد 1393 07:05 بعد از ظهر
حرف این دوستمون اینه که اون عددی که شما بایستی دنبالش بگردین بین 1 تا 1001!+2 هست!!!!

یعنی یه عدد x تو این بازه وجود داره که بین اعداد x,x+1,x+2,...,x+99 دقیقا 5 عدد اول وجود داره.

امیدوارم متوجه شده باشین چرا! : )
محسن

ممنون از شما و دوست ریاضیدانتون
حالا اون ایکس رو چطور باید بدست بیاریم؟
در حال حاضر مغزم کمی تا قسمتی هنگ کرده بس که روی این مسئله زوم کرده ام.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 07:01 بعد از ظهر
ببخشید باید بازه ی n!+1 تا n!+n رو چک کنید چون که خود n!+1 می تونه اول باشه.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:59 بعد از ظهر
ببخشید باید بازه ی n!+1 تا n!+n رو چک کنید چون که خود n!+1 می تونه اول باشه.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:55 بعد از ظهر
بهتره این تصویر رو ببینید.

https://www.dropbox.com/s/c5h6z2j06ge9wsh/RAHYAR.PNG
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:46 بعد از ظهر
فرصت نشد خودم وقت زیادی روش بذارم ولی یکی از دوستام یه جوابی داده که میتونه مفید باشه و از محاسبات کامچیوتری جلوگیری کنه. ایدش جالبه.

من نقل قول مستقیم می کنم:

The idea is extremely well-known. Denote M_x = \{x,x+1,\ldots,x+999\}. Clearly M_1 contains (many) more primes than 5, while M_{1001!+2} contains no prime. Denote m_x the number of primes contained in M_x, so m_{1001!+2} = 0 < 5 < m_1. But |m_x - m_{x+1}| \leq 1, so there will exist some x \in \{1,2,\ldots,1001!+2\} such that m_x=5 (the "step" of the function m_x makes it it has to take all integer values between the end-values - this is sometimes called "continuity in the discrete"). Now, actually finding it ... (I don't care much about this exercise).

نمایش اش فکر نکنم این جا جالب باشه. ببریدش تو word و مرتبش کنید یه ذره.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:43 بعد از ظهر
فرصت نشد خودم وقت زیادی روش بذارم ولی یکی از دوستام یه جوابی داده که میتونه مفید باشه و از محاسبات کامچیوتری جلوگیری کنه. ایدش جالبه.

من نقل قول مستقیم می کنم:

The idea is extremely well-known. Denote M_x = \{x,x+1,\ldots,x+999\}. Clearly M_1 contains (many) more primes than 5, while M_{1001!+2} contains no prime. Denote m_x the number of primes contained in M_x, so m_{1001!+2} = 0 < 5 < m_1. But |m_x - m_{x+1}| \leq 1, so there will exist some x \in \{1,2,\ldots,1001!+2\} such that m_x=5 (the "step" of the function m_x makes it it has to take all integer values between the end-values - this is sometimes called "continuity in the discrete"). Now, actually finding it ... (I don't care much about this exercise).

نمایش اش فکر نکنم این جا جالب باشه. ببریدش تو word و مرتبش کنید یه ذره.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:36 بعد از ظهر
بله بین n!+1 و n!+n عدد اولی نیست پرا که اگر p عدد اولی بین این دو باشد نسبت به تمام اعداد قبل از خود اول است. یعنی بزرگ ترین مقسوم الیه مشترکشون یک است.

از طرفی اگر باقی مانده ی p بر n! برابر با k باشد پس p=n!.a+k که در آن a عددی طبیعی است. ولی k|n!,k|k پس k|n!+k یعنی k|p پس دو حالت داریم یا k=p و یا k=1 .
k=1 غیر ممکن است لذا k=p پس k=n!+k یعنی k>k که تناقضی روشن است.
لذا عدد اولی در این بازه موجود نیست.

فکر کنم این نکته برای کد زدن مفید باشه.
یعنی مثلا آرایه ای که طولش هزار است رو در نظر بگیرید.

اون اعدادی که در بازه ای به فرم [n!,n!+n] هستن رو اصلا نیاز ندارید چک کنید و توش دنبال عدد اول بگردید.
محسن

اون رابطه درسته مثلا توی 1000 فاکتوریل عامل 2 است پس 1000 فاکتوریل بعلاوه 2 مرکب است. همینطور داخل 1000 فاکتوریل عامل 4 است پس 1000 فاکتوریل بعلاوه 4 مرکب است و ...
در داخل بازه هزار تایی که از 1000فاکتور یل +1 شروع و تا 1000 فاکتوریل+1000 ادامه داره همه اعداد مرکبند و هیچ اولی نیست.
ولی کار کردن در حول و حوش این اعداد خیلی بزرگتر از اون چیزیه که در قالب اعداد Number, integer برنامه نویسی بگنجند
چهارشنبه 7 خرداد 1393 06:35 بعد از ظهر
بله بین n!+1 و n!+n عدد اولی نیست پرا که اگر p عدد اولی بین این دو باشد نسبت به تمام اعداد قبل از خود اول است. یعنی بزرگ ترین مقسوم الیه مشترکشون یک است.

از طرفی اگر باقی مانده ی p بر n! برابر با k باشد پس p=n!.a+k که در آن a عددی طبیعی است. ولی k|n!,k|k پس k|n!+k یعنی k|p پس دو حالت داریم یا k=p و یا k=1 .
k=1 غیر ممکن است لذا k=p پس k=n!+k یعنی k>k که تناقضی روشن است.
لذا عدد اولی در این بازه موجود نیست.

فکر کنم این نکته برای کد زدن مفید باشه.
یعنی مثلا آرایه ای که طولش هزار است رو در نظر بگیرید.

اون اعدادی که در بازه ای به فرم [n!,n!+n] هستن رو اصلا نیاز ندارید چک کنید و توش دنبال عدد اول بگردید.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 05:53 بعد از ظهر
سلام. سوال جالبی هست. فكر كنم منظور سوال این باشه كه دقیقا 5 تا عدد اول وجود داشته باشه. همونطور كه میدونید بین اعداد اول شكافهایی به اندازه دلخواه وجود داره.
شاید مسئله بیش از یه جواب هم داشته باشه. در این صورت بهتره بگیم اولین 1000 عددی كه بینشون دقیقا 5 تا عدد اول وجود داشته باشه.
این سری اعداد احتمالا خیلی اعداد بزرگی هستند به این فكر میكردم كه مسلما اعداد اول رفته رفته كمیابتر میشن و میشه دید كه در هر هزار تا عدد كمتر از هزار تای قبلی عدد اول دیده میشه. با یه نگاه آماری به نظرم بشه حدودا تعیین كرد كه این بازه اعداد كجای اعداد طبیعی قرار داره. بعد تو همون حوالی دنبالش بگردیم. برای شروع كار باید یه لیست از هزارتایی ها و تعداد اعداد اول تو اونها تهیه كنیم.
محسن

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.
چهارشنبه 7 خرداد 1393 04:15 بعد از ظهر
متاسفانه الآن درگیر امتاحانات نهایی هستیم.

ولی فکر کنم این ایده خوب باشه که مسئله رو در حالت ساده تر حل کنید. سر فرصت روش فکر می کنم.

آیا 10 عدد متوالی وجود دارد که بین آن ها دقیقا
الف ) 2
ب ) 3
عدد اول باشد؟

آیا 100 عدد اول داریم که بین آن ها دقیقا 7 عدد اول باشد؟

و...

فکر کنم قضیه ی چبیشف بتونه کمکتون کنه.

متن قضیه :

برای هر عدد طبیعی n>1 حداقل یک عدد اول مثل p وجود دارد به طوری که n<p<2n.

به خاطر همین قضیه شک دارم چنین دنباله ای وجود داشته باشه ولی بعدا روش فکر می کنم اگه وقت کردم.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate
محسن

ممنون خوشحال میشم شما هم مشارکت کنید.
این دوستمون به عنوان راهنمایی گفته بود بین n!+1 ,n!+n هیچ عدد اولی وجود نداره
حالا باید روی این نکته تمرکز کنم
چهارشنبه 7 خرداد 1393 03:45 بعد از ظهر
سلام دوست عزیز

واقعا وبلاگ جالبی داری، خیلی با حال بود

بیا تبادل لینک کنیم ;)
چهارشنبه 7 خرداد 1393 01:48 بعد از ظهر
عرض سلام و ارادت،
ممنونم از دعوتتون، بسیار خوشحال خواهم شد که در جمع شما باشم، چه چیزی از این بهتر؟
بنده واتس آپ دارم ولی از تلگرام اطلاعی ندارم احتمالاً اینجا هنوز جا باز نکرده.
به هر حال ایمیل بنده را که دارید بفرمائید که باید چکار بکنم تا در جمع شما باشم.
با تشکر
محسن

باعث افتخار ماست سید جان
ایمیلتون رو چک بفرمایید
چهارشنبه 7 خرداد 1393 10:17 قبل از ظهر
اگه لینکت رو توی لیست وبلاگهای دوستانم ثبت نکنی دیگه بهت سر نمیزنم گفته باشم
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.
نمایش نظرات 1 تا 30
تمامی حقوق این سایت محفوظ است.کپی برداری از مطالب بدون اجازه مدیر سایت شرعاً و عرفاً مجاز نمی باشد.